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讨论函数的连续性

这个是数学大纲解析的习题呢~解这一类的题,其实有个套路,就是先通过求极限将f(x)的表达式求出来就可以解啦~步骤如下:1、先求lim(1-x^2n/1+x^2n)x ,(n->∞):f(x)= 0 ,

这种题一般分段函数居多,重点是讨论在分段点处的连续性,然后紧扣连续的定义,极限值与函数值相等,一般应该很容易看出该点的函数值,也就是这种题的重点是求该点的极限值.如果在该点的左右两边,函数的表达式不同,还需要分左右极限分别来计算.说到底,讨论连续性其实主要还是求极限.

一般先计算函数的间断点,把所有的间断点都先算出来,然后分别计算左趋近于间断点和右趋近于间断点以及间断点本身的函数值,如果三者都相等的话,我们就认为函数在这点处是连续的.如果没有间断点,直接求在某点处是否连续的话,那就是先计算该点的函数值,然后计算趋近于该点时候的极限值,如果相等的话,就是在该点处连续,否则就是不连续.

这种题一般分段函数居多,重点是讨论在分段点处的连续性,然后紧扣连续的定义,极限值与函数值相等,一般应该很容易看出该点的函数值,也就是这种题的重点是求该点的极限值.如果在该点的左右两边,函数的表达式不同,还需要分左右极限分别来计算.说到底,讨论连续性其实主要还是求极限.

lim(x→0-)f(x)=lim(x→0-)x/[1-√(1-x)] 【分子分母同时乘以1+√(1-x)】=lim(x→0-)[1+√(1-x)]=2 lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)(2+x)=2 f(0)=2 ∴函数在x=0连续,∴函数在r上连续

通常是在分段函数的情况下分左右极限,只有 x0的左极限=x0的有极限=x0点处的函数值,才能认为函数在该点连续.

解:x0时,f(x)=x+1明显也是连续的 所以只需考察x=0是否连续. 因为当x从0左边趋于0时,f(x)趋向0;当x从0右边趋于0时,f(x)趋于1.所以在x=0处不连续

解:根据连续定义:lim(x→0-)f(x)=f(0)=0 lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+) sin[4/(x-4)] =-sin(1/2) lim(x→0-)f(x) ≠lim(x→0+)f(x) x=0是跳跃间断点(第一类间断点)

连续性:只要求当x趋近于0时的值与f(0)的值是否一致即可. limf(x)=lim(x^2*sin(1/x))=0 (这步是利用有界函数与无穷小的乘积为无穷小) 而f(0)=0 则函数在0处连续.可导性:要证明可导则要知道在0处的左右导数是否相等,或者在该点处是否可导 求导数可以用定义法 f'(0)=lim((f(x)-f(0))/x)=lim((x^2*sin(1/x))/x)=lim(x*sin(1/x))=0 可知f(x)在x=0处有导数且导数存在.则在x=0处可导

不连续.lim(y→0)f(x,y)=lim(y→0)(sinxy)/y=lim(y→0)xy/y=x 该极限值随x的大小变化而变化,不等于0.故该函数不连续.

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